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物体的位置和姿态也可以用指数表示为统一的格式。该方法首先被引人纯旋转, 进而扩展到刚体的运动。 

01

旋转的指数坐标

所有行列式为1 的三阶正交矩阵的集合，即所有旋转矩阵  的集合, 是矩阵乘法操作的一个群, 记

之处在于  的行列式为 +1 而不是  。该旋转矩阵的集合符合一个群的下述 4 个公理:

闭包性:  。

一致性:    。

可逆性:   是  的唯一逆  。

结合性:   。

在角-轴表示中, 姿态表示为绕单位矢量  旋转角度  表 1.1 中的等价旋转矩阵可以表示为指数形式

式中,   为斜对称矩阵。

于是, 上述指数表达式将对应于转轴的斜对称矩阵  转换成了对应于绕轴  旋转角度  的正交矩阵  。更有利于计算的  的闭式解为

  的元素与表 1.2 中旋转矩阵  的元素相关，称为   的指数坐标。 

02

刚体运动的指数坐标

物体的位置和姿态可以由位置矢量  和旋转矩阵  表示。 

  与  的积空间称为  群,   代表特殊欧几里德空间 (special Euclidean)。

齐次变换的集合符合一个群的下述 4 个公理:

闭包性:  ;

一致性:   ;

可逆性:    具有唯一的逆, 见式      ;

结合性:   。

在旋量变换表示中, 位置和姿态利用绕单位矢量  定义的旋量轴旋转的角度  、在旋量轴上的点  和旋量轴的距  表示, 其中   。其等价的齐次变换矩阵, 见表 1.4 , 也可表示为指数形式  

其中  是单位斜对称矩阵的通用化表达式, 称为扭曲（twist）。  的扭曲坐标记为  。  的闭式表达式达式为

将上述结果与表1.4 中的齐次变换和旋量变换之间的转换相比较, 有

且  

于是, 利用扭曲的指数形式, 将物体的初始姿态变换 到了终点姿态。它给出的是刚体的相对运动。矢量  含有刚体变换的指数坐标。

对于旋量变换, 纯平移的情况是独特的。此时,  , 于是