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一个角度  与一个单位矢量  相结合, 也可以表示坐标系  相对于坐标系   的姿态。在这种情况下, 坐标系  绕相对于坐标系  定义的矢量  旋转角度  。矢量  为有限旋转的等价轴。角轴表示方式常记作  或  。角-轴表示方式因采用 4 个参数, 故具有一个冗余参数。辅助关系是矢量  为单位矢量, 即其模长为 1 。即使存在该辅助关系, 角-轴表示方式也不是唯一的, 这是因为绕矢量  旋转  与绕矢量  旋转  是等价的。表1.3给出了角-轴表示与单位四元数的姿态表示之间的转换。这两种表示与欧拉角或固定角之间的转换见表 1.2 , 与等价旋转矩阵之间的转换见 表 1.1。利用密切相关的四元数表示, 更容易处理速度关系。 

5四元数

四元数表示姿态起源于Hamilton , 进而由Gibbs和Grassmann改进为更简化的矢量, 它对于解决机器人学中的矢量/矩阵表示的奇异问题非常有用 。四元数不像欧拉角那样具有奇异问题。

 表角轴表示与单位四元数的姿态表示之间的转换 

四元数定义为如下形式:

式中, 元素 、、、 是比例因子, 有时也称为欧拉参数;  、、 是算子。这些算子的定义符合 如下规则:

两个四元数相加时, 将对应的元素分别相加。因此, 算子的作用像分离器。对于加法, 空元素为四元数  。四元数的相加符合结合 律、交换律和分配律。

对于乘法, 空元素为四元数  。对于任意四元数  , 有  成 立。四元数的相乘符合结合律和分配律, 但不符合交 换律。由算子规则和加法, 得到四元数的相乘形式:

定义四元数的补  

因此,  

一个单位四元数定义为  。通常,  称为四元数的比例部分,  称为矢量部分。

单位四元数用于描述姿态, 其单位模长为用于解决冗余坐标 (4 坐标) 的辅助关系。以四元数定义的矢量为  的四元数。因此, 矢量  可以 表示为四元数  。对于任意单位四元数  , 操作  执行的是矢量  绕  方向的旋转, 这可以通过展开  并比较表 1.1 中的等价旋 转矩阵验证。如表 1.3 所示, 单位四元数与角-轴姿态表示密切相关,  代表了转角, 而 、、 代 表了转轴。

对于速度分析, 四元数对时间的导数可与角速度矢量建立联系:

当一个单位四元数仅表示一个物体的姿态时，四元数可以被二元化为一个描述物体空间位置和姿态的代数式。