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Zui速控制在理论上是一个很有趣的问题，解法也很简洁、优美，但在实际中直接使用的例子实在是凤毛麟角。一般都是开始时用放水版的“梆-梆”，或者快速但均匀加减速到控制极限，以缓和控制的冲击力：到终点附近时，改用PID做闭环微调，以克服“梆-梆”对系统模型误差十分敏感的缺点。电梯控制就是这样一个例子：电梯要从一楼到四楼，一起动电动机就很快匀速上升到Zui高转速，一过三楼，电动机转入PID控制，根据电梯实际位置和楼面位置之差，有控制地减速，直至停下来。要是控制参数调得好，一下子就稳稳当当地停下来了。

Zui速控制问题是较早的Zui优控制问题，它提供了一个很有趣的思路，但这棵树上开花结果不多。相比之下，Zui优控制的另外一支却枝繁叶茂有生气得多了。这一支就是线型二次型Zui优控制（Linear）。数学是有趣的，但数学也是盲目的。在数学上，Zui优化问题就是一个在曲面上寻找凸点（或者四点，两者在数学上是等价的）的问题，只要你能把一个物理问题表述成一个曲面，数学是不理会芙蓉姐还是黛玉妹的。既然如此，偏差的二次方在时间上的积分就是很自然的Zui优化目标函数。二次方抹杀了正负偏差的区别，时间积分则一网打尽从过去到现在所有时间的偏差。累计都Zui小化了，任意时间上的瞬时偏差肯定也小。二次型就是二次方在线性代数里的说法。

线型系统的偏差二次方有很好的性质，这山峰是一个馒头山，平滑光顺，形状规整，没有悬崖嘴壁，没有沟塞坎坷，容易爬：一山只有一峰不用担心找错地方。不过这山峰不能只包含控制偏差，还要包含控制量原因有三个：

1）如果不包括控制量，那Zui优控制的解是没有意义的，因为无穷大的控制量可以使累计二次方偏差为无穷小，但无穷大的控制量是不现实的。

2）控制量的大小通常和能量、物料的消耗连在一起，实际控制问题般是“在Zui小能量、Zui低消耗情况下达到Zui高的控制精度”，所以在“山峰”中同时包含偏差和控制量是很自然的，这确保偏差和控制量均衡地同时达到Zui小。

3）系统模型总是有误差的，误差“总是”在高频、大幅度控制作用下Zui突出，为了降低系统对模型误差的敏感性，也有必要限制控制量的大小和“活跃度”。所以，线性二次型Zui优控制的“目标函数”（也就是山峰形状的数学表述）是一个控制偏差和控制量各自二次方的加权和的积分。积分当然就是“在时间上的累积”了，加权和其实就是在控制偏差的二次方项和控制量的二次方项前分别乘以比例因子，然后再相加。两个比例因子的具体数值不太重要，但相对大小决定了谁更重要。如果偏差项的加权更大，则控制精度的要求更高，但控制量就相对放任一点；如果控制项的加权更大，则控制量的使用就精打细算，而偏差就不能要求太高了。鱼和熊掌总是不能兼得的，两种做法各有各的用处。对于高精度但不带工本的控制问题，偏差项加权可以大一点；对于马马虎虎就行了但要勤俭持家的控制问题，控制项加权应该大一点。

运用矩阵微分和线性代数工具，不难导出线性二次型控制律，而且这是一个基本的状态反馈控制律！只是反馈增益矩阵是按Zui优化的要求计算出来的，而不是线性控制里按照零极点配置计算出来的。

线性二次型Zui优控制开创了一整个新的控制领域，很快从状态空间走出来，进入其他领域，繁衍子孙，人丁兴旺。这一支是当今Zui优控制在实际应用中的主体。

线性二次型控制具有各种各样的优点，但是，线性二次型没有回答一个Zui基本的控制问题：这个闭环系统是不是稳定。这里，我们饱受惦记的怪人李亚普诺夫出场了，李亚普诺夫也是一个脑子搭错筋的人，一百多年前，玩微分方程玩邪了门，整出两个稳定性（或者叫作收敛性）的定理。前一个没有什么太了不起的，就把非线性系统局部线性化，就是把一根曲线用很多一小段、一小段的直线近似，然后按线性来分析。后一个就有点邪门了，老李琢磨出一个定理，说是对于任意一个系统，如果能找到一个自我耗散的能量函数（能量函数在数学中也叫作正定函数），也就是其数值永远为正，但随时间渐进地趋向零，或者说如果这个能量函数对时间的导数永远为负，那这个系统就是稳定的。据说定理的证明是一个天才的杰作，我等凡人只有频频点头的份。不过想想也对，系统的能量都耗散没了，系统不也就消停下来了吗？当然就稳定咯。