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坐标系    相对于坐标系    的姿态可以利用基矢量   在基矢量  中形成的矢量表示。形成的矢量记为  , 改写成  矩 阵, 称为旋转矩阵。   中的元素是两个坐标系基矢量的点积。

因为基矢量是单位矢量, 而且任何两个单位矢量的点积是其夹角的余弦, 所以上述元素被称为方向余弦。

一个基本旋转是坐标系  绕  轴旋转角度  形成的矩阵

绕  轴旋转角度  形成的矩阵

绕  轴旋转角度  形成的矩阵

旋转矩阵  含有 9 个元素, 其中只有 3 个参数是定义物体在空间的姿态所需要的。因此, 旋转矩阵的元素中具有 6 个辅助关系。因为坐标系  的基 矢量是相互正交的，坐标系  的基矢量也是相互正交的, 所以由这些正交矢量的点积形成的  的列矢量也是正交的。

由正交矢量构成的矩阵称为正交矩阵, 它具有一个特性, 即其逆矩阵是其转置矩阵。该特性决定了其 6 个辅助关系，其中 3 个关系为列矢量具有单位长度, 另外 3 个关系为列矢量相互正交。另外, 旋转矩阵的正交性对于逆序坐标系依然成立。坐标系  相对于坐标系  的姿态为旋转矩阵  , 显然,   的行矢量即为  的列矢量。旋转矩阵通过简单的矩阵相乘相结合, 可以获得坐标系  相对于坐标系  的姿态

总之,  是一个将坐标系  中表示的矢量转换为坐标系  中表示的矢量的旋转矩阵, 它提供坐标系  相对于坐标系  的姿态表示，也可表示为坐标系   到 坐标系  的旋转。表 1.1 列出了本节中其他姿态表示的等价变换矩阵, 表 1.2 给出了从旋转矩阵到其他姿态表示的转换。 

表其他姿态表示的等价变换矩阵缩写

  表从旋转矩阵到其他姿态表示的转换 

旋转矩阵:

2欧拉角

作为一个Zui小表示, 坐标系  相对于坐标系  的姿态可表示为3个角  的一个矢量。这些角被称为欧拉角, 每个角代表绕一个轴的旋转。在这种方式下，每个轴的相继旋转取决于以前的旋转，旋转的顺序需与定义姿态的3个角的顺序一致。例如，使用符号  表示  欧拉角，其含义如下：在初始状态下运动坐标系  与固定坐标系  重合，  是坐标系  的  轴的旋转,  是坐标系  的  轴的旋转,   是坐标系  的  轴的旋 转。其等价变换矩阵  见表 1.1 。  和   欧拉角是12种其他顺序旋转中的另外两种常用的表示方式。

无论旋转顺序如何，当第一次和Zui后一次旋转在同一个轴上时，欧拉角姿态表示会存在奇异问题。由 表 1.2 可知，当  时，角  和   难以区分（对 于  和    欧拉角，当第 2 次旋转为  或  时，同样存在奇异问题）。这就出现了一个与角速度矢量（即欧拉角对时间的导数）相关的问题, 它会在某种程度上限制欧拉角在机器人系统建模上的应用。   欧拉角的角速度关系为：

3固定角

坐标系  相对于坐标系  的姿态也可表示为另外3个角的一个矢量, 其中每个角代表绕固定坐标系一 个轴的旋转。相应地, 这些角被称为固定角, 旋转的顺序需与重新定义姿态的3个角的顺序一致。其中, 定义为  的   固定角, 是在12种可能的旋转顺序中常用的一种。运动坐标系   与固定坐标系  在初始状态下重合,   是绕固定轴  的旋转, 称为偏转;  是绕固定轴  轴的旋转, 称为俯仰;  是绕固定轴  轴的旋转, 称为横滚。

其旋转的顺序根据这些角定义。每个角代表绕一个轴的旋转。比较表 1.1 中的相应等价旋转变换和表1.2中的相应转换, 可以发现,   固定角与  欧拉角是等价的, 而且  。上述结果表明, 绕固定坐标系的3个轴旋转定义的姿态, 与以相反顺序绕运动坐标系的3个轴旋转定义的姿态相同。同样, 所有方式的固定角表示的姿态也像欧拉角表示的姿态那样, 具有奇异问题。固定角对时间的导数与角速度矢量之间的关系，也类似于欧拉角对时间的导数与角速度矢量之间的关系。