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在机器人运动学中, 根据已知机器人末端执行器的位姿信息, 反算出来机器人每个关节相应转动的关节角, 这个过程称为机器人的运动学逆问题。机 器人的运动学逆问题在实际中是十分有意义的, 机器人的运动一般都是利用控制机器人每个关节的运动来实现联动的。为了控制机器人末端执行器在空间的 位姿达到给定目标或沿连续的轨迹运动, 就必须进行逆运动学求解 。

机器人逆问题求解不一定得到封闭解, 因此不同机器人的结构往往是不一 样的。由机器人运动学理论得知, 若机器人的三个关节轴相交于一点时, 可以 使用代数法求解机器人末端位姿的逆解。下面详细介绍使用代数法求解机器人末端位姿的逆解的步骤。

用  代替  或  表示广义关节变量。设已知末杆某一特定的位姿矩阵   , 如式(2-21)所示。

为了求解  , 可用  同时左乘式(2-20)的两端, 得

  （2-22）

从式(2-22)可以得出, 只有左边的项有  , 分别令等号两边矩阵相等, 其对应 的每个元素值也相等, 联立, 可以得到一个12个方程组成的方程组, 在这个方程组中 9 个是相互独立的, 通过消元法可以求解出  , 因此求得  ,  ,  的解法类似。

下面详细介绍求解机器人逆运动学问题的步骤。

首先, 将式(2-20) 做简单变换, 分别在两边乘以一些矩阵的逆, 得到:

  （2-23）

令该式左右两边的(3,4)元素相等, 化简得到  , 

当  , 即  (  为整数) 时, 有  , 由此可求得   。

令式(2-23)两边的(1,4)和(2,4)对应元素分别相等, 得

（）（） 

先将式 (2-24) 中右边的  项移到左边, 再将式 (2-24) 和式 (2-25) 两边平方相加, 得到,

 左边右边 

其中,

  （2-26）

令左边等于右边, 得到:

  再令  ,

经过三角变换可以得到:

  （2-27）

上姿态时取正号, 下姿态时取负号。 

令 经过三角变换, 得到:

  （2-28）

上姿态时取正号, 下姿态时取负号。

令式(2-23)两边(1,3)和(2,3)元素分别对应相等, 有

式  - 式  , 整理后得  , 代人 、、 , 即可求解出   。

令式(2-23)两边的(3,3)元素相等, 得到  , 代人   即 可求得  。

令式 (2-23) 两边的(3,2)元素相等, 得到

做三角变换, 并代人 、 , 可以求得  。

需要注意, 在对机器人逆运动求解时, 有些结果会存在多解情况。不同的 逆解对应不同的机器人位姿信息。一般地, 关节角的函数中会含有正负号, 取 正号时, 机器人的位姿处于上姿态; 取负号时, 机器人位姿处于下姿态。而且, 当机器人末端从上一个点位运动到下一个点位时, 如果此时的位姿有多解, 可 以选择Zui接近前一点位的机器人逆解。