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 基于DH模型的参数辨识雅可比矩阵

为了对机器人运动学参数进行辨识, 需要得到两种数据: (1)机器人末端执行器的位姿误差; (2)机器人运动学参数的微小偏差。一般来说, 机器人末端角 速度、线速度以及关节角速度之间的关系使用机器人辨识雅可比矩阵来描述。与一般的机器人雅可比矩阵不同的是, 辨识雅可比矩阵主要用来描述上述两者之间非常细小的变化关系。辨识雅可比矩阵主要是用来描述每个自变量与函数微小变化之间的关系。对于自由度为  的机器人, 其位姿可描述为:  （3-21）其中,   为机器人末端位置;   为机器人末端 坐标系的欧拉角;     为机器人第  个 关节的  参数。此时参数辨识雅可比矩阵有如下表示：  (3-22)各个  的表示如下:    (3-23)则 DH 参数微小偏差与末端位姿误差之间有如下的表示:    (3-24)

 基于 DH 模型的机器人末端误差模型 相邻关节坐标系间误差模型
通过研究机器人运动学参数的微小偏差对其末端位置和姿态的影响, 可以 得到机器人的运动学误差模型, 本节仅给出两关节坐标系间的误差模型, 即由关节 DH 参数误差计算关节位置和姿态误差。由于机器人  参数有 、、、 的微小误差, 则对应的齐次变换矩阵的变化为:    （3-25）通过对齐次矩阵  进行微分运算, 得到:     分别令    （3-30）其中,     （3-31）  （3-32）    （3-33）  （3-34）将上述公式代人式  , 得:   （3-35）此时误差矩阵  可写为如下形式:  （3-36）因此,  上面的齐次变换矩阵包括两部分, 即  的平移向量 和 的旋转向量  :    

 机器人末端误差模型
由位姿误差模型可以得到  自由度的机器人的末端坐标系相对于基座坐标 系的位姿误差模型。此时机器人运动学误差模型中有  个末知误差参数 。设末端坐标系对于基座坐标系的变换矩阵为  , 误差矩阵为  , 因此,  将式(3-40) 展开并且忽略二阶微分误差, 得:  (3-41)假设误差矩阵可以写成如式 (3-36) 的形式, 结合式 (3-36)与式 (3-41) 可得：  为了将式 (3-42) 描述得更为简单, 将机器人末端坐标系到第  个机器人关 节坐标系的变换矩阵定义为  , 即:  (3-43)结合式(3-43), 此时式(3-42) 可以写成:  （3-44）其中,  （3-45）由于  , 式(3-45) 可写成:  （3-36）其中  为仅考虑第  关节  参数误差时, 在末端坐标系下表示的齐次微分矩 阵。 和 分别为:  定义  其中,  为机器人末端位姿误差, 该误差考虑到全部关节  参数误差。而  也为机器人末端位姿误差, 但该误差不考虑到全部关节  参数误差, 仅考虑第  个关节。并且 、 都在末端坐标系下表示, 则式 (3-46)可以改写为:  （3-51）式(3-51) 表明, 各关节 DH 参数误差引起的末端位置和姿态的误差线性叠 加是造成机器人末端位姿误差的根源。因此有:  （3-52）其中,  为  关节坐标系位姿误差到末端坐标系位姿误差的转换矩阵, 具体表示如下：   (3-53)由式 (3-45) 可知, 向量  来自  （3-54）根据两关节坐标系间 DH 参数误差与关节坐标系位姿误差的关系, 并结合 式(3-51) 和式(3-52), 可得机器人末端位姿误差与各关节DH参数误差的关系为: （） 将上式写成矩阵形式: 式 (3-56) 即为机器人末端坐标系误差模型, 其中,  为各关节  参数误差的 向量形式,   为参数辦识雅可比矩阵。式(3-56) 的误差模型由关于末端姿态的误差模型和末端位置的误差模型组 成, 因此式(3-56)可表示为:  （3-57）