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刚体运动的矩阵表示

机器人是由一系列的连杆进行有机连接的，机器人的各个关节的运动可以看成刚体运动。机器人的刚体运动是指机器人关节在空间中的旋转和平移运动，归根结底是对机器人的各个部件组成（刚体）进行数学建模。为了描述刚体的运动，需要获取刚体运动的位姿信息。刚体的位姿包括刚体的位置信息和姿态信息。刚体运动的描述方法主要有齐次变换法、矢量法、四元数法和旋量法等等，而刚体的位置信息和姿态信息可根据刚体上的任何一个基准点和过这个基准点的坐标系  ，对比于参考坐标系  之间的相对关系来决定，这个基准点通常选用刚体的质心，其相对关系如图2-1表示。

根据图2-1所示，一个刚体的位置信息可以根据一个固定的参考坐标系的原点到刚体所在的坐标系的关系向量表示，即  ，这个位置向量的形式如式（2-1）。

  (2-1)

刚体的姿态可通过两坐标系间的坐标旋转变换矩阵来表示，即姿态矩阵  ，其各元素是两坐标系向量之间的方向余弦

  (2-2)

为了更加直观，可以使用4×4方阵简单地表示刚体的位置信息和姿态信息

称为刚体的位姿矩阵，记为  可以表示为

  (2-3)

齐次变换矩阵

在刚体运动的过程中，一个刚体的位置需要在不同坐标系中表示，这就需要进行坐标变换，坐标变化可以将空间中任意一点的位置从参考坐标系变换到另外的坐标系。对于机器人而言，在运动的过程中有许多的坐标系，包括基座坐标系和末端执行器坐标系等等，所以更加需要了解空间中的物体位置在两个不同坐标系的表示以及它们之间的坐标变换方法。

齐次变换矩阵常用于不同坐标系之间的变换。齐次变换方法首先假设存在两个坐标系，其中一个坐标系  为固定的参考坐标系，另一个坐标系  为相对于参考坐标系的坐标系，坐标系  存在三个方向的单位向量分别记为  。根据刚体运动学理论，两个坐标系之间的旋转矩阵表示为

  (2-4)

同时，考虑刚体的位置信息，为了实现位置向量在不同坐标系间的线性变换，定义齐次变换矩阵如下:

  (2-5)

通过上面的表达式可知，齐次变换矩阵由位置向量和旋转向量组成，通过对齐次变换矩阵的运算操作，可以同时实现刚体在两坐标系之间的位置和姿态信息变换。