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为了表示机器人在空间中位姿变换, 首先对坐标系微分运动进行讨论, 然后阐述 DH 参数的误差系数矩阵的推导, 即辨识雅可比矩阵。通过 DH 模型, 可 以对两关节坐标系进行误差分析, 从而建立相关的误差模型, Zui后可以通过该 误差模型, 得到机器人的末端坐标系的误差关系。通过上述步骤, 可以得到模 型的基本状态。Zui后分析该模型, 可以获得 DH 模型的参数辨识冗余性。

坐标系微分运动

机器人运动学参数误差会对机器人产生影响。由于误差的存在, 在一个小的时间段内, 机器人的各个关节会发生微小的改变, 这也会使机器人在运动过 程中的位置和姿态产生误差。因此, 研究机器人的微分运动, 便可获得机器 人运动学中的两个重要数据: (1)机器人运动学参数的误差; (2)机器人的末端执行器的位置和姿态误差。有了这两个数据, 便可对此进行深人分析, 并建立两者之间的关系式。而有了该关系式, 便可通过前者辨识出后者, 并且通过补偿机器人运动学参数的误差来提高机器人末端执行器的位姿精度。坐标系微分运动是指为了描述机器人不同关节的微小运动情况, 通过建立对机器人各个关节的坐标系, 进行相关的分析和计算, 而获得机器人每个关节的速度关系。坐标系微分运动包括微分平移和微分旋转。 

微分平移和微分旋转

 假设点在  轴、  轴、  轴上的微量移动量分别为 、、 , 那么  (3-1)式(3 - 1) 表示微分平移矩阵。假设 、、 分别表示绕  轴、  轴、  轴的微量角度, 则对应微分旋转矩阵如下:  轴:  (3-2)  轴:
  （3-3）  轴:  （3-4）由于 、、 为微小量, 可得:  （3-5）因此绕  轴、  轴、  轴的微分旋转矩阵可写成:   假设考虑先绕  轴作微分旋转, 再绕  轴作微分旋转, 并且忽略二阶小量, 则微分旋转矩阵为:  通过式 (3-9) 可知, 微分旋转矩阵和微分旋转的顺序无关, 即绕  轴、    轴、  轴旋转的顺序不影响微分旋转矩阵的组成。因此, 绕  轴、    轴、  轴旋转 的微分旋转矩阵为:  (3-10) 

坐标系的微分变换

 微分运动可以分解为两种运动: 微分平移和微分旋转, 有:（）其中,   为末端相对于基座坐标系中的初始位姿;   为由于外部因素导致机器人的位姿发生改变后的相对位姿。式(3-11)表示的是, 机器人末端相对于机器人基座坐标系的初始位姿通过微分平移和微分旋转, 得到机器人末端相对于基座坐标系的位姿。设  代表微分运动后机器人末端相对于机器人基座坐标系的位姿与机器人末端相对于机器人基座坐标系的初始位姿之差, 则上式可以改写为: ）因此,  可以表示为:  令  为微分算子, 则 （）结合微分平移和微分旋转的计算公式, 微分算子有如下表示形式:  （3-15）
其中,   为单位矩阵。假设机器人末端相对于机器人基座坐标系的初始位姿矩阵  表示为:   （3-16）

令向量  , 向量  , 向量  , 向量  , 向量  , 向量  , 因此:

  （3-17）

式中, 微分算子  是相对于机器人基座坐标系的。

若将微分算子  定义为相对于机器人当前连杆的坐标系, 则  还可以表示为:

  （3-18）

于是有 :

  

令

    , 因此有:

  （3-20）

式( 3 - 20) 表示两坐标系的转换关系。有了该转换关系, 便可求出两坐标系 之间的微分运动关系。