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DH 误差模型描述

 对于自由度为  的机器人, 假设  关节  参数的误差为:

则有:

  (3-58)

其中,  为基于  参数的辨识模型。

假设  表示的辨识模型的冗余参数个数为  , 则相对应的辨识雅可比矩阵的列秩为  , 即线性相关的雅可比阵列组数为  , 且辨识雅可比矩阵为:

由上述结论可得, 通过分析串联机器人相邻两关节坐标系的冗余参数, 便 可得出该机器人所有的冗余参数 。

其中, 第  关节的  误差参数雅可比矩阵为:

  而第  关节的 DH 误差参数雅可比矩阵为:

其中,   表示  参数误差到广义误差参数的转换矩阵。

对于相邻的两关节坐标系, 基于 DH 参数的雅可比阵列的线性组合为:

  其中,  是任意常数, 若  等于零, 则矩阵的  列满秩, 即模型不存在冗余参数。由于  中没有与第  个关节和第  个关节相关的参数, 因此可以由  代替  求得雅可比阵列的线性组合, 这一点与广义误差模型类似。 

基于 DH 模型的线性相关雅可比阵列

1. 测量末端位姿

 矩阵  和   可由下面的式子得到: 

将式(3-63) 代人式(3-62)。

(1) 若  , 即  且  , 则  全为 0 , 此时雅可比矩阵中不存在线性相关的列, 因此没有冗余参数。

(2) 若  , 即  或者  , 则  （3-64）

此时针对  的不同取值, 对  进行计算, 并得到雅可比矩阵中线性相关的列。

a) 假设  , 则有:

将式(3-65) 代人式(3-62) 中, 得到如下的线性关系:

b) 假设  , 则有:

将式(3-67) 代人式(3-62) 中, 得到如下的线性关系:

2. 测量末端位置

不同条件下线性相关的雅可比阵列为:

(1) 假设  , 则有:

(2) 假设  且  , 则有:

(3) 假设  且  , 则有:

(4) 假设  且  , 则有:

上述式子表示了不同条件下线性相关的雅可比矩阵, 其中从式 (3-69)到式 (3-72), 线性相关的雅可比阵列也越来越多, 表明了机器人几何构型的条件越 来越苛刻, 即模型的冗余参数越来越多。

DH误差冗余参数

综合前面几节内容可知, DH 误差冗余参数有如下几种情况:

1. 同时测量机器人末端位置和姿态

(1) 相邻两关节轴线不平行, 则不存在冗余参数。

(2) 相邻两关节轴线平行但不共线, 则冗余参数为  。

(3) 相邻两关节轴线平行且共线, 几余参数为 、  。

2. 仅测量末端位置

(1) 若  , 即  轴与  轴距离不为零,  不影响末端位置, 此时冗余参数为  ; 若  且  , 即  轴与  轴距离为零且相互不垂直,   与  均不影响末端位置, 则冗余参数为 、 。

(2) 若  且  , 即  轴与  轴距离为零且相互 垂直, 同时  轴与  轴距离不为零,   与  均不影响末端位置, 且  与  对末端位置会产生相同效果的影响, 则几余参数为 、、 。

(3) 若  且  , 即  轴与  轴距离为零且相互垂直, 同时  轴与  轴距离也为零,  与  均不影响末端位置, 且  与  与  对末端位置会产生相同效果的影响, 此时冗余参数为  、  、  。