前面说到，搞控制有三拨人：电工出身的，化工出身的，还有应用数学出身的。在卡尔曼之前，电工出身的占主导地位，数学家们还在象牙塔里打转转，不知道外面世界的精彩，化工出身的则还对控制理论懵懵懂懂，还在“实干”呢。卡尔曼之后，一大批数学出身的人利用对数学工具的熟悉，转攻控制理论。一时间，控制理论的数学化似乎成了“天下大势，浩浩荡荡，顺我者昌，逆我者亡”了。在状态空间的框架下，多变量的问题容易研究，很快被一扫而光，剩下的都是难晴的硬骨头，于是最优化成为控制理论的新时尚。

对于一根给定的曲线，一阶导数为零的点，就是这个曲线的极点：再对这一极点求二阶导数，就可以确定这是最大点、最小点还是驻点（单调上升或者下降曲线中一个过渡的水平段）。这是牛顿老爷子就整明白的东东，现在高中或大学人人都学过这一套。但是动态系统是一个微分方程，对微分方程求一阶导数为零（采用变分法或所谓的欧拉方程。用变分法可以计算出两点之间最小距离为直线，还可以计算出最小阻力的下滑曲线是抛物线。很奇妙的东西，但这个东西用起来不方便。实际的最优控制不大直接使用变分。

俄罗斯除了托尔斯泰、柴可夫斯基、普希金、列宾等文艺巨壁外，也盛产数学家，其中两个是列夫·庞特里亚京和学控制的人老帖记着的亚历山大·李亚普诺夫。

庞特里亚京极大值原理听起来吓人，说白了其实很简单。看见那山了吗？山顶就是最高点（切，这还用说？），这就是无约束最优化问题：看见那山了吗？要是在山腰画一道线，线那边是禁区，那从山下往上爬，尽管山坡还在继续往上延伸，山顶还更高，但是到线为止，不得逾越，那山腰上那道“三八线”就是最高点（切，这还用说？），这变成了约束最优化问题。当然，山腰那道“三八线”要是画到山背面去了，可以无限制地爬上山顶，这山顶还是最高点，又回归到无约束最优化问题了。这就是庞特里亚京极大值原理的基本原理。

最高点在哪里？羊走得到的最高的地方，最高点就在那里

庞特里亚京极大值原理的一个典型应用就是所谓最速控制问题，或者叫时间最优控制（TimeOptimalControl）问题。简单地说，就是给定最大马力和最大制动功率，问题是怎么开汽车能够最快地从A点开到B点（什么转弯、上下坡、红绿灯，这种项碎的事情也要拿来烦人？一点品味都没有！）。你可以用优美但繁琐的数学求证，或者用膝盖想想：最快的方法，就是一上来就一脚油门踩到底，加足马力，全速前进；然后在终点前的某一地点，一脚制动踩到底，全力减速，使慢下来的汽车在触及终点时正好停下来。这是最快的方法，不可能比这更快了。稍微发挥一点想象力，可以想象：一上来就“梆”地一下，加速踏板一脚到底；再找好时机“梆”地一下，制动踏板一脚到底，坐等车子漂移到终点线正好停下来，控制任务就完成了。所以最速控制也叫“梆-梆”控制（BangBang Control）。

从A到B要最快该怎么开？一起动就油门踩到底，算好差不多了制动路板踩到底正好飘到停车线停下。这是最快的，不可能更快了，这就是最速控制，也叫“梆-梆”控制。