1旋转矩阵
坐标系 相对于坐标系 的姿态可以利用基矢量 在基矢量 中形成的矢量表示。形成的矢量记为 , 改写成 矩 阵, 称为旋转矩阵。 中的元素是两个坐标系基矢量的点积。
因为基矢量是单位矢量, 而且任何两个单位矢量的点积是其夹角的余弦, 所以上述元素被称为方向余弦。
一个基本旋转是坐标系 绕 轴旋转角度 形成的矩阵
绕 轴旋转角度 形成的矩阵
绕 轴旋转角度 形成的矩阵
旋转矩阵 含有 9 个元素, 其中只有 3 个参数是定义物体在空间的姿态所需要的。因此, 旋转矩阵的元素中具有 6 个辅助关系。因为坐标系 的基 矢量是相互正交的,坐标系 的基矢量也是相互正交的, 所以由这些正交矢量的点积形成的 的列矢量也是正交的。
由正交矢量构成的矩阵称为正交矩阵, 它具有一个特性, 即其逆矩阵是其转置矩阵。该特性决定了其 6 个辅助关系,其中 3 个关系为列矢量具有单位长度, 另外 3 个关系为列矢量相互正交。另外, 旋转矩阵的正交性对于逆序坐标系依然成立。坐标系 相对于坐标系 的姿态为旋转矩阵 , 显然, 的行矢量即为 的列矢量。旋转矩阵通过简单的矩阵相乘相结合, 可以获得坐标系 相对于坐标系 的姿态
总之, 是一个将坐标系 中表示的矢量转换为坐标系 中表示的矢量的旋转矩阵, 它提供坐标系 相对于坐标系 的姿态表示,也可表示为坐标系 到 坐标系 的旋转。表 1.1 列出了本节中其他姿态表示的等价变换矩阵, 表 1.2 给出了从旋转矩阵到其他姿态表示的转换。
表其他姿态表示的等价变换矩阵缩写
欧拉角固定角
角轴
单位四元数
表从旋转矩阵到其他姿态表示的转换
旋转矩阵:
欧拉角
固定角
角轴
单位四元数
2欧拉角
作为一个最小表示, 坐标系 相对于坐标系 的姿态可表示为3个角 的一个矢量。这些角被称为欧拉角, 每个角代表绕一个轴的旋转。在这种方式下,每个轴的相继旋转取决于以前的旋转,旋转的顺序需与定义姿态的3个角的顺序一致。例如,使用符号 表示 欧拉角,其含义如下:在初始状态下运动坐标系 与固定坐标系 重合, 是坐标系 的 轴的旋转, 是坐标系 的 轴的旋转, 是坐标系 的 轴的旋 转。其等价变换矩阵 见表 1.1 。 和 欧拉角是12种其他顺序旋转中的另外两种常用的表示方式。
无论旋转顺序如何,当第一次和最后一次旋转在同一个轴上时,欧拉角姿态表示会存在奇异问题。由 表 1.2 可知,当 时,角 和 难以区分(对 于 和 欧拉角,当第 2 次旋转为 或 时,同样存在奇异问题)。这就出现了一个与角速度矢量(即欧拉角对时间的导数)相关的问题, 它会在某种程度上限制欧拉角在机器人系统建模上的应用。 欧拉角的角速度关系为:
3固定角
坐标系 相对于坐标系 的姿态也可表示为另外3个角的一个矢量, 其中每个角代表绕固定坐标系一 个轴的旋转。相应地, 这些角被称为固定角, 旋转的顺序需与重新定义姿态的3个角的顺序一致。其中, 定义为 的 固定角, 是在12种可能的旋转顺序中常用的一种。运动坐标系 与固定坐标系 在初始状态下重合, 是绕固定轴 的旋转, 称为偏转; 是绕固定轴 轴的旋转, 称为俯仰; 是绕固定轴 轴的旋转, 称为横滚。
其旋转的顺序根据这些角定义。每个角代表绕一个轴的旋转。比较表 1.1 中的相应等价旋转变换和表1.2中的相应转换, 可以发现, 固定角与 欧拉角是等价的, 而且 。上述结果表明, 绕固定坐标系的3个轴旋转定义的姿态, 与以相反顺序绕运动坐标系的3个轴旋转定义的姿态相同。同样, 所有方式的固定角表示的姿态也像欧拉角表示的姿态那样, 具有奇异问题。固定角对时间的导数与角速度矢量之间的关系,也类似于欧拉角对时间的导数与角速度矢量之间的关系。