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对工业界有时使用的以积分为主导控制作用的做法再啰嗦几句。在学术上，控制的稳定性基本就是渐进稳定性，BIBO稳定性是没有办法证明渐进稳定性时的“退而求其次”的东西，不怎么上台面的。但是工业界里的稳定性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面：一个当然是渐进稳定性，不光逐渐稳定下来，而且向设定值收敛；另一个则是稳定性，但不一定向设定值收敛，或者说稳定性比收敛性优先这样一个情况。后者的情况就是需要系统稳定在还算靠谱的位置就可以了，多少接近设定值就行，要紧的是不要动来动去，是不是正好在设定值反而并不是太重要。这样的例子有很多，比如反应器的压力是一个重要参数，反应器压力不稳定，进料一会儿打得进去，一会儿打不进去，原料进料比例就要乱套，催化剂进料也不稳定，反应就不稳定。但是反应器的压力到底是2MPa还是2.5MPa并没有太大的关系，只要慢慢地但又稳定地向设定值收敛就足够了。这是控制理论里比较少涉及的一个情况，但这也是工业上时常采用积分主导的控制的一个重要原因。

前面在PID整定里说到系统的频率，本来就是系统响应持续振荡时的频率，但是控制领域里有三拨人在倒腾：一拨是以机电类动力学系统为特色的电工出身，包括航空航天、火力控制、机器人等；一拨是以连续过程为特色的化工出身的，还包括冶金、造纸、化纤等；还有一拨是以微分方程稳定性为特色的应用数学出身的。在瓦特和抽水马桶的年代里，各坐各的山头，井水不犯河水，倒也太平。但控制从艺术上升为理论后，总有人喜欢“统一”各个山头。在控制理论的三国大战中，电工帮抢了先，好端端的控制理论里被塞进了电工里的频率。可是啊可是，这哪是频率啊，这是…复频率。既然那些“变态”的电工党能折腾出虚功率来，那他们也能折腾出复频率来。他们自虐倒也算了，只是苦了无率之众，从此被道受此精神折磨。

事情的缘由是系统的稳定性。前面提到，PID的参数如果设得不好，系统可能不稳定。除了摸索，有没有办法从理论上计算出合适的PID参数呢？有的。前面也提到，动态过程可以用微分方程描述，其实在PID的阶段，这只是微分方程中很狭窄的一支：单变量定常系数线性常微分方程。要是还记得一点高数，一定还记得线性常微的解，除了分离变量法什么的，如果自变量时间用t表示的话，Zui常用的求解还是把e^λt代入微分方程，然后解的代数方程（正式称呼是特征方程），解出来的就是特征根。这可以是实数，也可以是复数。是复数的话，微分方程的解就要用三角函数展开了（怎么样，当年噩梦的感觉找回来一点没有）。实数根整个都是实部。复数根可以分解为实部和虚部，只要所有特征根的实部为负，那微分方程就是稳定的，因为负的指数项Zui终随时间向零收敛。虚部到底有多大就无所谓了，对稳定性没有影响，但对振荡频率有影响。但是，这么求解分析起来还是不容易，还是超不出“具体情况具体分析”，难以得出一般的结论。

如今法国排不进第一世界了，再自豪的法国人都不敢自称超级大国，但当年法国人是很牛的，除了凡尔赛宫和法国大餐外，还有很多厉害的数学家。其中一个叫拉普拉斯的家伙，提出一个拉普拉斯变换，把常微分方程变成s的多项式。拉普拉斯变换是数学变换的一种，而数学变换是数学世界里一个十分精妙的游戏。还记得尼古拉斯·凯奇主演的电影《国家财富》吗，淘宝人发现了一副奇妙的彩色偏振镜片，用不同组合，可以在《独立宣言》原稿背面看出不同的寻宝线索。这当然是骗票房的东西，但数学变换好比彩色偏振镜片，从一个看似一堆混沌的东西里换一个角度去看，再换一个角度去看，可以看出很多奥妙来，尤其是结构性的特征。用拉普拉斯变换处理常微分方程也是这个意思，可以从看似无从入手的常微分方程里，提出与稳定性相关的特征信息来。对描述动态过程的微分方程施加拉普拉斯变换后，微分方程就变成了传递函数，这是经典控制理论的基础。这里面的数学细节说起来比较啰嗦，还是留给严谨的教科书吧，这里就不扯远了。

光拉普拉斯变换还不够，往s里代入jω，就是那个复频率，这就整出一个变态的频率分析，用来分析系统的稳定性。不过说变态，也不完全公平，在没有计算机的年代，各种专用图表是Zui有效的分析方法，还美其名曰“几何分析”，频率分析也不例外。美国人沃尔特·埃文斯（WalterEvans）在传递函数的基础上，搞出一个根轨迹（RootLocus）分析方法，思路倒是蛮有意思的。给定传递函数后，开环系统（还记得开环、闭环吗？开环就是没有反馈的，闭环就是带反馈的）的特征根是给定的，开环稳定不稳定就是它了。传递函数分子多项式的根为零点，分母多项式的根为极点。闭环之后，增益为零的话，就退化为开环情况。在增益逐步增大的过程中，增益锁定在每一个特定值时，都可以解出相应的特征根（不管是实的还是虚的），可以在复平面（也就是说，纵轴为虚轴，横轴为实轴）上标出来。把不同增益下的特征根连接起来，就形成了根轨迹。

三阶无零点系统根轨迹，轨迹从极点（“×”）开始，随增益增加面“长高长大”到一定时刻后，轨迹穿越到虚轴右半平面，这时闭环系统开始不稳定了

有意思的是，三阶带一个零点后，即使开环有不稳定极点，增益增加到一定程度后，闭环系统反而成为稳定的

埃文斯还证明了有趣的一点：根轨迹必定从开环极点开始，以零点为终点；根轨迹的分支数正好为极点数，所以二阶系统有两条根轨迹、三阶系统有三条根轨迹等。由于正常系统的零点数总是少于极点数，“多出来”的根轨迹就以无穷大为终点。于是，Zui终形成的根轨迹好像从开环极点长出来的树枝，但像飞扑火一样向开环零点汇聚，“无家可归”的根轨迹分支实在没有地方可去，没有零点作为归宿，只好孤寂地向无穷的幽深散发。要是根轨迹总是在左半平面打转，则说明实根为负，就是稳定的。再深究下去，系统响应的临界频率之类也可以计算出来了。

根轨迹Zui大的好处是，对于常见的系统，可以给出一套做图规则来，熟练的大牛、小牛、公牛、母牛们，对传递函数的形式用眼睛一瞄，随手就可以画出根轨迹来，然后就可以定性地告诉你，增益大概变化到多少系统就要开始振荡，再增加多少，系统会不稳定，云云。

根轨迹还是比较客气的，还有更变态的奈奎斯特法、伯德法和尼科尔斯法，想想脑子都大了时至今日，计算机分析已经很普及了，但是古典的图示分析还是有经久不衰的魅力，就是因为图形分析不光告诉你当前系统是稳定还是不稳定，以及其他一些动态响应的参数，还定性地告诉你增益变化甚至系统参数变化引起的闭环性能变化。在什么都用计算机先算一遍的今天，定性分析依然有特殊意义。定量分析好比是树，可以jingque地告诉你这里有一棵树，有多高多粗多老，但只有定性分析才能揭示出林，告诉你这里有很多树，而且这边大多是小树。大树主要在那边。定性分析指出大方向，这是数值计算正确性的概念保障。时至如今，不少人吃过盲目相信计算机数值计算结果的苦头，但要不盲目，靠什么呢？靠的就是对事物的定性认识，包括对方向性，数量级的认识。这些折磨脑子的图形分析就是干这个用的（喷，刚才还不是在说人家变态吗？呢，变态也有变态的魅力不是？哈哈）。