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我们也看到采样后相邻采样点之间的数据没有了，这带来了一个新的问题：如何采样才能无失真的重构原始信号？

接上面那个采样的例子，为了恢复相邻采样点之间的数据，我们把相邻的采样点用直线连起来，这种办法被叫做线性插值。重构后的信号出现了明显的问题：原始信号第一段的斜坡完美重构了，可是斜坡上的拐角没有被正确重构出来，回去取钥匙肯定要回到家里才能取到，可是重构后的信号看起来我在半路丢了钥匙，没到家就找到了，然后继续折返上班，当然到公司以后那一段又完美重构了...

也就是说这次采样并没有完整保留原始信号的所有信息，信息出现了丢失或者错误，这是不正确的采样，我们需要研究一种方法，使得采样后的离散信号能够完美（虽然现实不可能完美，但数学上可以）重构成采样前的连续信号。

针对上面的例子，很容易得到两种解决办法：1.在拐点处单独进行采样：这样采样的时间间隔就非均匀了，虽然工程上也有应用，但这会带来很多其他的问题，属于进阶的内容，这里就不说了（其实是我不会）。2.减小采样的时间间隔/增加单位时间采样点数：那么采样间隔要减小到多小才够用？单位时间采样点过多必然导致处理和存储的压力增大，但太少了又不能完美采样原始信号...是否有一个临界点恰好完美采样原始信号，又不会让单位时间采样点过多，浪费处理器和存储资源？这就是常说的采样定理要解决的问题。

傅里叶展开

从前有一位工程师叫做傅里叶，它认为工程上遇到的绝大多数时变信号，都能写成若干个正弦信号叠加，我们把这个叫做傅里叶展开。傅里叶在提出这个理论的时候并没有给出严格证明，不过大家发现这个没有被严格证明的定理非常好用，于是在没有严格证明的情况下使用了这个定理很长一段时间...下图是理想方波与有限次正弦波叠加近似的方波，反正知道有这样一回事就好了，就是工程上见到的大多数信号，都能像这样近似展开成若干正弦波叠加。

工程上为啥喜欢把信号展开成傅里叶级数？因为正弦信号有很多优良的特性，比如周期性。有了周期性以后，很多问题就变得简单了，比如：如何采样能够完美恢复一个正弦信号？因为正弦信号是周期信号，我们只需要看一个周期就可以了。

正弦的函数表达式如下，其中A是振幅，  是角频率，  是初相，也就是有三个常量就能唯一确定一个正弦信号：

一个函数三个未知数，所以需要代入三个不同的点解出三个未知数，得到唯一的表达式，所以一个周期需要取三个以上的点才能完美采样。

从图像上也能直观看出来：在等时间间隔的情况下，如果采样间隔恰好是正弦信号周期的一半，也就是一个信号周期内能采集到两个点，如果恰好采样到的两个点幅值都是0，那就恰好无法计算出正弦信号的表达式。

如果采样间隔比信号周期的一半还要小，那么一个信号周期内至少能采集到三个点，一定能够计算出正弦信号的表达式。

所以我们可以这么说：如果采样的时间间隔小于被采样正弦信号周期的一半，我们一定能无失真的恢复出被采样信号。

结合上一节得到的结论，即工程上大多数信号都能展开成若干正弦信号叠加，如果我的采样间隔能够完美采样周期Zui短的那个正弦信号，那当然能完美采样这个由若干正弦叠加出来的信号。

采样间隔的倒数是采样率，信号周期的倒数是信号频率，这样都倒过来，就得到了我们Zui常见的采样定理表达方法：当采样率大于被采样信号中频率Zui高信号频率的2倍时，采样后的信号能完美保留被采样信号的所有信息。

此处Zui高频率的2倍叫奈奎斯特频率(Nyquist frequency)。若采样频率不满足此条件，就会让原始信号频谱产生频谱混叠 (aliasing)现象，从而无法正确恢复原始信号。

左图黑线是为始信号，黑点为采样点，黄线为由采样点恢复的信号频谱。右图不断增加的粉色区域沿着ω轴的长度就是采样率，当采样率等于原始信号Zui高频率的2倍时，我们能正确恢复此信号。（图来自Wikipedia）

如：某一原始信号频带是1~10Hz，要对其进行离散采样，则采样频率应该大于2*10=20Hz (即1秒钟采20个点，每个点的间隔为1/20=0.05 s )，此处的20Hz就是奈奎斯特频率。

一般地，在采样之前，zuihao先进行低通滤波,以避免出现频谱混叠现象，比如：若采样频率为10Hz，那能恢复信号Zui高频率只有5Hz；这时若原始信号有大于5Hz的成分，不进行低通滤波直接采样就会发生频谱混叠。

低通滤波可以简单的认为：设定一个频率点，当信号频率高于这个频率时不能通过，在数字信号中，这个频率点也就是截止频率，当频域高于这个截止频率时，则全部赋值为0。因为在这一处理过程中，让低频信号全部通过，所以称为低通滤波。

回到开头香农采样定理的定义：