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信息熵公式  

那么怎么压缩才能得到极限值呢？香农第一定理指出：

1. 一段信息的信息量是固定的，这称为这段信息的信息熵（H）
2. 无论怎么压缩，信息熵是无失真信源编码的极限值
3. 若编码的平均码长小于信息熵值，必然发生差错（也就是有损）

那么怎么压缩才能得到极限值呢？香农第一定理指出，对于不同的符号要采用不同编码，经常出现的符号使用短的编码，出现频率低的使用更长的编码。如果做到每个符号的代码长度等于它出现概率的对数，则编码总长度就是信息熵。在吴军博士的《信息传》中，举了个例子。图源：《信息传》——吴军这个编码方法是怎么得来的？可以通过大名鼎鼎的霍夫曼编码得到。霍夫曼编码也称为zuijia编码，由Huffman1952年提出，就是根据是香农1948年发表的《A mathematical theory of communication》里的思想而构造的，是香农第一定理的延伸。如果你细心观察，你会发现，在很多领域都有意识无意识的能香农第一定理的身影。例如摩尔斯电报码也一定程度上接近香农第一定律的压缩极限值（虽然还不完美），例如经常出现的A、E、I特别短。而且发明摩尔斯电码的时候，那时候香农还没出生呢。大家都冥冥中感受到这个规律，但只有香农把这个规律总结成定理。

香农第二定理（有噪信道编码定理）

有噪信道编码定理。当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为C，当信道的信息传输率R<C，码长N足够长时，总可以在输入的集合中(含有  个长度为N的码符号序列)，找到M （  )，a为任意小的正数)个码字，分别代表M个等可能性的消息，组成一个码以及相应的译码规则,使信道输出端的Zui小平均错误译码概率Pmin达到任意小。公式：  注：B为信道带宽；S/N为信噪比，通常用分贝（dB）表示。

一般业内讲到香农定理，主要指的是第二定理有噪信道编码定理。在讲解这个原理之前，我想让大家思考一个问题，为啥你离路由器越远，网速越差？你可能会回答「信号发不到那么远」之类的回答。但有的时候，只是网速变差，并没有断线啊，甚至你看你wifi信号还是满格的呢，如果信号发不到那么远，那你应该直接掉线才对。你有没有想过，距离和网速有什么关系？香农第二定理就能帮你解答这个问题。（当然，香农那个年代没有wifi）为了说明香农定理，这里就不得不提一个人了，傅里叶（Fourier）。傅里叶和香农其实并不是一个时代的人，傅里叶比香农早出生148年。但1807年提出的傅里叶变换，确实为百年后的通信发展做出了「意外的贡献」。通过傅里叶级数可以把似波的函数表示成简单正弦波的方式。在weijibaike中，给出了这个一个动图，可以帮助理解。在这个图里，把一个方波分解成了几个正弦波（近似）。傅里叶变换将函数的时域（红色）与频域（蓝色）相关联。频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示。应用到通讯领域，傅里叶公式能把时间信息变成频谱信息。（一个正弦波就是一个频率）