采样周期选择
采样周期指的是PID控制中实际值的采样时间间隔,其越短,效果越趋于连续,但对硬件资源的占用也越高。
选择范围:
理论:香农采样定理
经验:实际值突变能力
如何理解 香农采样定理香农采样定理,又称奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高大码元传输速率的公式:理想低通信道的最高大码元传输速率B=2W,信息传输速率C=B*log2N 。(其中W是理想低通信道的带宽,N是电平强度)定义:
为了不失真地恢复模拟信号,采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。
信号
信号的书面解释是表示信息的物理量。通俗来说就是承载了一定信息的某个东西,比如下课铃就是承载了下课信息的声音,不管老师还是学生听到下课铃都知道这堂课已经结束了,可以进行其他活动了。
工程上经常处理的一类信号叫做时变信号,就是说某一个物理量随时间变化所产生的信号,这里举一个简单的例子,把我上午出门的时刻设置为0时刻,研究我离家距离与出门时间的关系,可以得到这样一个信号(我离家的距离):
虽然我不知道研究这个信号有什么用,但这确实是一个时变信号。
在电子工程中,我们最常研究的时变信号是电压随时间变化的关系,也就是常说的电压波形,如50Hz市电的电压波形如下图:
连续与离散
从宏观尺度上来看,我们生活在一个连续的物理世界中。所谓连续的意思是物理量是连续变化的,比如我举的第一个例子,研究我出门时刻后,所用时间与离家距离的关系,这次回去拿好钥匙发现要迟到了,于是我发动了瞬间移动技能,我从半路瞬间移到了公司,这样在离家距离上就不连续了,这在现实世界中是不可能的。当然现实世界中时间也是连续的,不可能出现一份一份的时间。
虽然现实世界是连续的,但我们所使用的电子计算机,工作模式却不是连续的。比如某新式的CPU主频为3.6GHz,这说明这款CPU在1秒钟时间里可以执行3,600,000,000次某种操作,虽然这个CPU执行一次操作的耗时非常短,光也只能传播8cm,但仍然是离散的(时间上的离散)。比如新式SSD容量是500GB,也就是能存储4,000,000,000,000个0或者1,但仍然只能存储有限的数据(空间上的离散)。
这就带来了一个问题:为了让计算机能够处理真实的物理信号,需要把连续的物理信号离散化。我们习惯上把连续信号时间的离散化叫做采样,而把幅度上的离散化叫做量化,采样定理研究的是时间离散化的问题。
为了把信号从时间上离散化,我们以固定的时间间隔对信号幅度进行取样,这样我们就能得到一个序列来表示所需要的信号。也就是说采样后的信号,在时间上不连续了,相邻采样点之间的数据没有。
接着一开始的例子,现在把信号进行采样,得到了[0,1,2,3,3.1,1,1.2,4,6,6,6,6,6]这样一个采样后的信号,一般把这样信号叫做离散时间信号(简称离散信号),与采样之前的连续时间信号区分开。采样所得到的离散信号很容易被计算机进行处理并存储。
需要注意连续信号和离散信号只是说信号在时间上是否连续,而不是是否拥有无限的长度,连续信号可以是有限长的,离散信号也可以是无限长的。
我们也看到采样后相邻采样点之间的数据没有了,这带来了一个新的问题:如何采样才能无失真的重构原始信号?
接上面那个采样的例子,为了恢复相邻采样点之间的数据,我们把相邻的采样点用直线连起来,这种办法被叫做线性插值。重构后的信号出现了明显的问题:原始信号第一段的斜坡完美重构了,可是斜坡上的拐角没有被正确重构出来,回去取钥匙肯定要回到家里才能取到,可是重构后的信号看起来我在半路丢了钥匙,没到家就找到了,然后继续折返上班,当然到公司以后那一段又完美重构了...
也就是说这次采样并没有完整保留原始信号的所有信息,信息出现了丢失或者错误,这是不正确的采样,我们需要研究一种方法,使得采样后的离散信号能够完美(虽然现实不可能完美,但数学上可以)重构成采样前的连续信号。
针对上面的例子,很容易得到两种解决办法:1.在拐点处单独进行采样:这样采样的时间间隔就非均匀了,虽然工程上也有应用,但这会带来很多其他的问题,属于进阶的内容,这里就不说了(其实是我不会)。2.减小采样的时间间隔/增加单位时间采样点数:那么采样间隔要减小到多小才够用?单位时间采样点过多必然导致处理和存储的压力增大,但太少了又不能完美采样原始信号...是否有一个临界点恰好完美采样原始信号,又不会让单位时间采样点过多,浪费处理器和存储资源?这就是常说的采样定理要解决的问题。
傅里叶展开
从前有一位工程师叫做傅里叶,它认为工程上遇到的绝大多数时变信号,都能写成若干个正弦信号叠加,我们把这个叫做傅里叶展开。傅里叶在提出这个理论的时候并没有给出严格证明,不过大家发现这个没有被严格证明的定理非常好用,于是在没有严格证明的情况下使用了这个定理很长一段时间...下图是理想方波与有限次正弦波叠加近似的方波,反正知道有这样一回事就好了,就是工程上见到的大多数信号,都能像这样近似展开成若干正弦波叠加。
香农-奈奎斯特 采样定理
工程上为啥喜欢把信号展开成傅里叶级数?因为正弦信号有很多优良的特性,比如周期性。有了周期性以后,很多问题就变得简单了,比如:如何采样能够完美恢复一个正弦信号?因为正弦信号是周期信号,我们只需要看一个周期就可以了。
正弦的函数表达式如下,其中A是振幅, 是角频率, 是初相,也就是有三个常量就能唯一确定一个正弦信号:
一个函数三个未知数,所以需要代入三个不同的点解出三个未知数,得到唯一的表达式,所以一个周期需要取三个以上的点才能完美采样。
从图像上也能直观看出来:在等时间间隔的情况下,如果采样间隔恰好是正弦信号周期的一半,也就是一个信号周期内能采集到两个点,如果恰好采样到的两个点幅值都是0,那就恰好无法计算出正弦信号的表达式。
如果采样间隔比信号周期的一半还要小,那么一个信号周期内至少能采集到三个点,一定能够计算出正弦信号的表达式。
所以我们可以这么说:如果采样的时间间隔小于被采样正弦信号周期的一半,我们一定能无失真的恢复出被采样信号。
结合上一节得到的结论,即工程上大多数信号都能展开成若干正弦信号叠加,如果我的采样间隔能够完美采样周期最短的那个正弦信号,那当然能完美采样这个由若干正弦叠加出来的信号。
采样间隔的倒数是采样率,信号周期的倒数是信号频率,这样都倒过来,就得到了我们最常见的采样定理表达方法:当采样率大于被采样信号中频率最高信号频率的2倍时,采样后的信号能完美保留被采样信号的所有信息。
此处最高频率的2倍叫奈奎斯特频率(Nyquist frequency)。若采样频率不满足此条件,就会让原始信号频谱产生频谱混叠 (aliasing)现象,从而无法正确恢复原始信号。
左图黑线是为始信号,黑点为采样点,黄线为由采样点恢复的信号频谱。右图不断增加的粉色区域沿着ω轴的长度就是采样率,当采样率等于原始信号最高频率的2倍时,我们能正确恢复此信号。(图来自Wikipedia)
如:某一原始信号频带是1~10Hz,要对其进行离散采样,则采样频率应该大于2*10=20Hz (即1秒钟采20个点,每个点的间隔为1/20=0.05 s ),此处的20Hz就是奈奎斯特频率。
一般地,在采样之前,zuihao先进行低通滤波,以避免出现频谱混叠现象,比如:若采样频率为10Hz,那能恢复信号最高频率只有5Hz;这时若原始信号有大于5Hz的成分,不进行低通滤波直接采样就会发生频谱混叠。
低通滤波可以简单的认为:设定一个频率点,当信号频率高于这个频率时不能通过,在数字信号中,这个频率点也就是截止频率,当频域高于这个截止频率时,则全部赋值为0。因为在这一处理过程中,让低频信号全部通过,所以称为低通滤波。
回到开头香农采样定理的定义:
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