单位冲激信号

某些物理现象要用持续时间极短、幅值极大的函数来描述，比如闪电信号、力学中的瞬间冲击力、信号抽样中的抽样脉冲等，其理想模型就是冲激信号。

(1) 定义

单位冲激函数用δ(t)表示，它有若干不同的定义方法，这里采用狄拉克(Dirac) 定义，即在t≠0 时函数值均为零。而在t ＝0 时函数值为无穷大，且函数积分为1，定义式为：

单位冲激函数的波形用一条带箭头的竖线表示。其波形如图1-25 所示，它出现的时间表示冲激发生的时刻。箭头旁括号内的数字表示冲激强度。就是冲激信号对时间的定积分值。如果冲激不是发生在t ＝0 时刻， 而是发生在t ＝ t0 时刻，则用δ(t － t0 )表示，其波形如图1-26 所示，表达式为：

为了较直观地理解冲激信号的定义，可以将其看成是某些普通函数的极限，利用矩形脉冲信号取极限可以演变为冲激信号。

其实，为引出冲激函数，规则函数的选取不限于对称矩形脉冲，还有一些面积为1的偶函数， 如对称三角形脉冲、双边指数函数、抽样函数Sa(t)等，它们的极限也可以演变为冲激函数。感兴趣的读者可参阅相应的参考书，这里就不一一介绍了。

(2) 冲激函数的重要性质

① 抽样(筛选) 性

若f(t)在t ＝0 处连续(且处处有界)，则有

上面两个公式表明了冲激函数的抽样特性，也称“筛选” 特性，即连续信号f(t)与单位冲激信号δ(t)或δ(t － t0 )相乘，并在( － ∞， ＋ ∞ ) 上积分，可以抽取(或筛选)出冲激所发生时刻的函数值f(0)或f(t0)，如图1-29 所示：

将该式与u(t)函数的定义式(1-18) 对比，可知单位冲激函数的积分等于单位阶跃函数。即

反之，单位阶跃函数的微分等于单位冲激函数，即

上式解释如下: 阶跃函数在t≠0 时各点都是常数，其导数为零，而在t ＝ 0 时发生跳变，此跳变点的微分就产生冲激函数δ(t)，因此，以后在对信号求导时，信号跳变点处取微分，在跳变处就会产生一冲激函数。

【例1-4】　

利用冲激函数性质计算下列各式的值，