运动学参数辨识是机器人运动学标定的一个重要组成部分, 也是该领域的 一大研究热点。运动学参数辨识是指通过机器人末端执行器的位姿测量值以及机器人的关节位置测量值来确定机器人运动学模型参数的一个过程。通过运动学参数辨识, 可以获得运动学参数的误差, 从而对机器人关节变量进行修正, 继而补偿机器人位姿的误差, 提高机器人运动精度。

本章在前两章的基础上, 提出了用于实现运动学参数辨识的参数误差估计 模型, 该模型以误差测量模型测得的机器人末端误差数据为输入, 通过误差估计算法求解机器人误差模型, 得到机器人运动学参数误差。目前, 虽然已有许多学者参与到运动学参数辨识方法的研究中, 同时也提出了各种不同参数误差 估计算法, 但算法的最终目的都是一致的一使机器人末端位姿的测量值和理论计算值之间的差值最小化。最小二乘法、遗传算法和扩展卡尔曼滤波算法是常见的三种参数误差估计算法, 本章将详细介绍基于这三种算法的参数误差估计模型。

1 最小二乘法估计

 1. 1 最小二乘法

最小二乘法, 又称最小平方法, 是一种通过最小化误差平方和来获取数据的zuijia函数匹配的数学优化技术。也是一种可以简便求出未知的数据的方法。利用最小二乘法可以使得这些未知的数据与实际数据之间的误差的平方和达到最小。在实际应用中, 最小二乘法依据对某事件的大量观测数据来估计“最优”结果或表现形式，是目前“观测组合”的主要工具之一。假设令

其中,  称为残差向量;  为要逼近的数据;  为真实的数据。残差向量的大小决定了  估计值的好坏。最小二乘法的原则是使得残差的平方和达到最小, 使得估计值和真实值之间的偏差达到最小, 从而得到zuijia 的匹配模型。下面讲解如何通过最小二乘法进行求解, 如图 5-1 所示。

最小二乘法研究多个变量  及其构成的相关变量  之间的关 系, 为了得到这个关系, 通常利用不相关变量进行建模: 

  （5-1）

其中,  是  个独立变量。

假设对于当前事件有  组观测值，则由式(5-1)可得以下线性方程组:

  （5-2）

通常将  记作数据矩阵  , 将参数  记作参数向量  , 将观测量  记作向量  , 则可将式(5-2)写成矩阵形式:

  （5-3）

即

  (5-4)

因此最小二乘法的线性平方差计算公式为

  (5-5)

满足式(5-5)的参数向量  即为最小二乘法的解。

以  的值域为基准将  拆成 、 两部分,  属于  的值域, 而   属于  的正交补:

  (5-6)

其中,   为  的厄米特共轭矩阵。 

由式 (5-6) 可知  , 故

  因此, 当且仅当  时上式有最小值, 此时  为最小二乘法的一个特解, 即

  （5-8）

又因为  的零空间满足

 （5-9）

 其中,   为任意的  维向量。所以  的通解为

  （5-10）

也即最小二乘法的通解 。

 1.2 估计模型

虽然在实际情况中, 机器人末端误差与运动学参数的误差关系是非线性关 系, 但在运动学参数识别过程中, 通常以线性的误差模型来进行辨识。另外, 由于误差相对较小, 因此在实际应用中会忽略参数的二阶误差项, 并通过反复迭代的方式减小忽略二阶误差项的影响, 提高辨识精度。

第 3 章已介绍过机器人末端的误差模型  , 该模型是一个线性方程组, 其中 6 个线性方程,  个末知参数 (   为机器人的关节数目), 因此为了求解所有的末知参数, 至少需要  组测量数据。通常, 测量数据应该满足上 述条件, 并且覆盖机器人的工作区间。假设有  组末端位姿测量数据和相应的关节角数据, 由机器人末端误差模型可得

  （5-11）

其中,   为机器人各关节角度。将上式利用矩阵符号表示可得:

  （5-12）

其中,  且  。此时, 机器人运动学参数辨识过程转化为求式(5-12)的最小二乘解, 即求解  使式  有极小值。 由 5.1.1 节可知式(5-12)的通解为

  (5-13)

其中,   为  的广义逆矩阵;   为任意的  维向量。在所有的通解中, 当且仅当  时,  有最小值, 即

  (5-14)